Polinomial & Eksponensial

Polinomial & Eksponensial

Oleh

Rinaldi

FAKULTAS TEKNOLOGI & INFORMASI KOMPUTER

                                                  UNIVERSITAS PRIMA INDONESIA

AI. Pengertian Polinomial

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis suku banyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien, suku banyak atau sering disebut dengan polinom merupakan bentuk suku suku dengan nilai banyak yang disusun dari perubah variabel dan konstanta. Operasi yang digunkana hanya penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pangkat bilangan bulat tak negative.

Bentuk umum suku banyak

Bentuk umum suku banyak (polinom) berderajat n dengan variable x adalah:

an xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a0

dengan an , an-1 , …. , a1 , a0 € R koefisien/konstanta
suku banyak an ≠ 0 , dan n bilangan bulat positif.

Pangkat tertinggi dari x adlah derajat suku banyak, sedangkan suku yang tidak memuat variable (a0) dinamakna suku tetap (konstan).

Nilai suku banyak

Nilai suku banyak f(x) untuk x=k atau f(k) dapat ditentukan dengan substitusi atau dengan skema Horner

• Cara subtitusi

• Dengan mensubtitusikan x = k ke suku banyak

• f(x) = an xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a0f(x) = an kn + an-1 kn-1 + . . . + a1 k + a0

• Cara skema horner

• Misalkan f(k) = ax3 + bx2 + cx + d maka f(k) = ak3 + bk2 + ck + d

• ax3 + bx2 + cx + d = (ak2 + bk + c)k+d

• = ((ak + b)k + c)k+d

BI.Contoh Soal dan Pembahasan

Pembagian suku banyak

Teorema sisa dan teorema factor

Contoh Soal

Diketahui suku banyak p(x) = 2x4 + x2 – 4x + 6

a. Tentukan derajat, koefisien-koefisien dan suku tetap dari suku banyak p(x)
b. Tentukan nilai suku banyak p(x) untuk x=-1

Jawab

a. P(x) = 2x4 + x2 – 4x + 6
= 2x4 + 0x3 + 1x2 +(-4)x + 6

Derajat suku banyak adalah 4
Koefisien x4 adalah 2
Koefisien x3 adalah 0
Koefisien x2 adalah 1
Koefisien x adalah -4
Suku tetap adalah 6

b. P(x) = 2x4 + x2 – 4x + 6
P(-1)  = 2(-1)4 + (-1)2 – 4(-1) + 6
= 2 + 1+ 4 + 6
= 13

Jadi nilai suku banyak p(x) untuk x=-1 adalah 13

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut

f(x) = g(x) h(x) + s(x)

Dengan
f(x) = suku banyak yang dibagi
g(x) = suku banyak pembagi
h(x) = suku banyak hasil bagi
s (x) = suku banyak sisa

Pembagian suku banyak dengan cara horner

Pembagian suku banyak f(x) oleh (x-k) dapat dilakukan dengan cara horner.

Contoh Soal

Perhatikan pembagian suku banyak (2x2 – 3x2 + x + 6) oleh (x+2) berikut.
F(x) = 2x2 – 3x2 + x + 6
G(x) = x + 2 = x – (-2) -> k = -2

Skema horner

Diperoleh :

Hasil bagi = 2x2 – 7x + 15
Sisa = -24
Jadi, dapat dituliskan :
2x3 – 3x2 + x + 6 = (x+2) (2x2 – 7x + 15) + (-24)

Bagaimana cara menentukan akar persamaan dengan panmgkat lebih dari dua? Sekarang akan kita pelajari selengkapanya, yaitu dengan menggunakan teorema sisa dan teorema factor.

a. Teorema sisa

Jika suku banyak f(x) dibagi x – k maka sisanya adalah f(x).

Sifat

Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh ax + b adalah

Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x-a) (x-b) adalah

b. Teorema faktor

Suku banyak f(x) mempunyai factor (x-k) jika dan hanya jika f(x) = 0; k disebut juga akar dari f(x).
Persamaan suku banyak berbentuk an xn + an-1 x n-1 + . . . + a0 dan (x-k) adalah factor dari f(x), maka nilai k yang mungkin adalah

Contoh Soal

Diketahui sisa pembagian suatu suku banyak f(x) oleh ( x2 + 6x – 16) adalah (4x-5). Tentukan :

a. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x-2) ;
b. Nilai f(-8).

Jawaban:

Jika h(x) hasil bagi dan s(x) = 4x-5 merupakan sisa pembagian, dapat dituilskan:

F(x) (x2+6x – 16) h(x) + s(x)
=( x + 8) (x-2) h(x) + (4x-5)

a. Sisa pembagian f(x) oleh (x – 2):
S(2) = 4(2) – 5
= 8 – 5 = 3

b. f(x) = (x + 8) (x – 2) h(x) + (4x -5)
f(-8) = (-8 +8) (-8 -2) h(-8) + (4(-8) -5)
= (0) (-10) h(-8) + (-32 -25)
= 0 + (-37) =-37

Atau dengan teorema sisa diperoleh:

f(-8) = s(-8) = 4(-8) – 5
= -32 – 5
= -37

Jadi, f(-8) = -37

AII. Pengertian Eksponensial

Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau e^x, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.

Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.

Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik e^x selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif.

Secara umum, variabel x dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang lain

Persamaan Eksponen dapat diartikan sebagai persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x dimana x sebagai bilangan peubah. . Materi ini biasa disampaikan pada awal kelas X dan akhir kelas XII. Materi eksponen ini sebenarnya sangat mudah untuk dimengerti sobat, hanya saja niat yang belum ada hehe, mari simak dengan baik-baik.

Bentuk Persamaan Eksponen

1. af(x) = 1  ( Jika af(x) = 1 dengan a>0 dan a ≠0, maka f(x) = 0 )

2. af(x) = ap  ( Jika af(x) = ap  dengan a>0 dan a ≠0, maka f(x) = p )

3. af(x) = ag(x)  ( Jika af(x) = ag(x)  dengan a>0 dan a ≠0, maka f(x) = g(x) )

4. af(x) = bf(x)  ( Jika af(x) = bf(x)  dengan a>0 dan a ≠1, b>0 dan b ≠1, dan a≠b maka f(x) = 0 )

5. A(af(x))2 + B(af(x)) + C = 0 ( Dengan af(x) = p, maka bentuk persamaan diatas dapat diubah menjadi persamaan kuadrat : Ap2 + Bp + C = 0 )

BII. Contoh Soal dan Pembahasan

1.       Contoh Soal Persamaan Eksponen Bentuk af(x) = 1

                Tentukan himpunan penyelesaiian dari :

a. 3 5x-10 = 1

b. 2 2x²+3x-5 = 1

    Jawab :

a.      3 5x-10  = 1

         3 5x-10  = 30

           5x-10 = 0

           5x      = 10

             x        = 2

b.      2 2x²+3x-5 = 1

         2 2x²+3x-5 = 20

         2x2+2x-5 = 0

         (2x+5) (x-1) = 0

          2x+5 = 0  |    x-1 = 0

          X = -²⁄₅     |    x = 1

      2.       Contoh Soal Persamaan Eksponen Bentuk af(x) = ap

   

                Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. 5 2x-1 = 625

b. 2 2x-7 = ⅓₂

c. √33x-10 = ½₇√3

    Jawab :

a.     5 2x-1 = 625

        5 2x-1 = 53

        2x-1 = 3

        2x    = 4

          x      = 2

b.     2 2x-7 = ⅓₂

        2 2x-7 = 2-5

        2x-7 = -5

        2x    = 2

          x      = 1

c.   √33x-10 = ½₇√3

        33x-10⁄2 = 3-3.3½

        33x-10⁄2 = 3-⁵⁄₂

        3x-10⁄2 = -⁵⁄₂

        3x-10    = -5

        3x         = 5

          x         = ⁵⁄₃

Sumber:

• http://rumusdasarmatematika.blogspot.co.id/2014/10/persamaan-eksponen-dan-contoh-soal.html
• http://www.pelajaransekolahonline.com/2016/22/rumus-dan-contoh-soal-polinom-atau-suku-banyak-dalam-matematika.html
• https://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_eksponensial